書籍詳細:線形代数と数え上げ

線形代数と数え上げ

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  • 紙の書籍
定価:税込 3,024円(本体価格 2,800円)
在庫なし
発刊年月
2012.06
ISBN
978-4-535-78680-6
判型
A5判
ページ数
200ページ
Cコード
C3041
ジャンル
難易度
テキスト:初級

内容紹介

線形代数の道具を使って代数的組合せ論やグラフ理論における数え上げ問題を取り上げる。古典的話題ながら新しい発見に満ちた一冊。

目次

第 1 部 3次元ヤング図形の数え上げ

  第 1 章 平面分割と非交差経路

      1. 3次元ヤング図形と平面分割

      2. 平面分割と非交差経路

      3. 非交差経路の数え上げ

  第 2 章 LGV公式

      1. 有向グラフに関する言葉と記号

      2. LGV公式

      3. 2本の非交差経路の場合の証明

      4. 一般の場合

  第 3 章 平面分割とシューア函数

      1. 平面分割の重み付き数え上げ

      2. シューア函数との遭遇

      3. ヤング盤による解釈

      4. ヤング盤のもう一つの見方

  第 4 章 ヤコビ-トゥルーディ公式

      1. シューア函数のヤング盤表示

      2. 非交差経路和としての解釈

      3. ヤコビ-トゥルーディ公式

      4. もう1つのヤコビ-トゥルーディ公式

  第 5 章 非交差経路とフェルミオン

      1. ヤング図形とマヤ図形の対応

      2. 非交差経路の粒子的描像

      3. ヤング図形の成長過程

      4. 歪シューア函数

  第 6 章 ワイルの指標公式

      1. 表現指標としてのシューア函数

      2. 指標公式

      3. 指標公式の導出

      4. コーシー等式

      5. 次元公式

  第 7 章 マクマホンの公式

      1. 箱入り平面分割の個数公式

      2. 個数公式のq変形

      3. マクマホン函数

      4. 2項係数のq変形との関係

  第 8 章 平面分割の対角断面

      1. 対角断面

      2. 対角断面と半標準盤の関係

      3. 3つ組の数え上げ母函数

      4. 長方形のヤング図形のシューア函数再論

  第 9 章 平面分割と非交差閉路

      1. デブライン閉路

      2. 角転送行列

      3. 小行列式の積の足し上げ

      4. デブライン閉路と対角断面の関係



第 2 部 完全マッチングと全域木の数え上げ

  第 10 章 ダイマー模型

      1. 2部グラフの完全マッチング

      2. タイル張りとの関係

      3. ダイマー模型の定式化

      4. カステレイン行列

  第 11 章 カステレイン行列

      1. ダイマー模型の定式化

      2. 行列式の展開

      3. マッチングの回転

      4. 定符号条件が成立するための条件

      5. 分配函数の行列式表示

      6. 相関函数の行列式表示

  第 12 章 有限正方格子上のダイマー模型

      1. 2×n 格子の場合

      2. 2×n 格子に対する行列 K

      3. 対角化によって K の行列式を求めること

      4. 一般のサイズの格子の場合

      5. 2m×2n 格子の分配函数を求めること

  第 13 章 パフ式とその使い方

      1. パフ式とは何か

      2. パフ式の基本的性質

      3. ダイマー模型への応用

      4. 非交差経路和への応用

  第 14 章 全域木の数え上げ

      1. グラフのラプラシアン

      2. 木の数え上げ

      3. 行列と木の定理の証明の概略

  第 15 章 全域木と完全マッチングの対応

      1. 正方格子グラフとその双対グラフにおける全域木の対応

      2. 完全マッチングとの対応

      3. G_m,n, G^*_m,n の全域木の数え上げ

   付録 A 線形代数の道具箱

      1. 置換

      2. 行列式

      3. 余因子

      4. ヴァンデルモンド行列式

      5. 固有値問題

      6. コーシー-ビネ公式

      7. フレドホルム展開公式

   付録 B 発展的話題

      1. 対称性をもつ3次元ヤング図形の数え上げ

      2. 左右対称な3次元ヤング図形の数え上げ

      3. トーラス上のダイマー模型