書籍詳細:[新装版]ルベーグ積分入門

[新装版]ルベーグ積分入門 使うための理論と演習

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定価:税込 3,960円(本体価格 3,600円)
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在庫あり
発刊年月
2021.03
ISBN
978-4-535-78941-8
判型
A5判
ページ数
312ページ
Cコード
C3041
ジャンル
難易度
テキスト:中級

内容紹介

最小限の準備でルベーグ積分を使えるよう解説。具体的な応用例でその威力を体感でき、豊富な練習問題で自習書としても最適。

目次

0 序
 0.1 数に関する記号
 0.2 論理・集合・写像に関する記号
 0.3 リーマン積分からルべーグ積分へ

1 σ-加法族と測度
 1.1 σ-加法族
 1.2 ボレル集合体
 1.3 測度
 1.4 ボレル集合体上のルベーグ測度・スティルチェス測度
 1.5 測度零集合

2 積分の定義と収束定理
 2.1 可測関数
 2.2 可測関数の演算と極限
 2.3 積分の定義
 2.4 収束定理
 2.5 径数付き積分の微分

3 ルベーグ測度
 3.1 測度の完備化
 3.2 ルベーグ測度
 3.3 リーマン積分との関係

4 測度の存在と一意性
 4.1 二つの測度が一致するための条件
 4.2 半加法族と拡張定理
 4.3 (*) 外測度
 4.4 (*) 拡張定理(存在部分)の証明
 4.5 (*) 完備化と外測度

5 フビニの定理
 5.1 積可測空間
 5.2 積測度
 5.3 フビニの定理
 5.4 完備化に対するフビニの定理
 5.5 変数変換公式とその応用

6 Lp-空間
 6.1 Lp-空間
 6.2 Lp-空間の完備性
 6.3 測度収束

7 実解析の基本的道具
 7.1 合成積
 7.2 Rd上の測度の位相正則性
 7.3 C-関数のLp-稠密性
 7.4 軟化子
 7.5 多項式近似定理

8 フーリエ級数・フーリエ変換
 8.1 フーリエ級数
 8.2 三角関数によるフーリエ級数
 8.3 L1(Rd) に対するフーリエ変換
 8.4 L2(Rd) に対するフーリエ変換

9 複素測度と有界変動関数
 9.1 複素測度とその変動
 9.2 ジョルダン分解
 9.3 (符号付き)スティルチェス測度

10 複素測度と有界変動関数の微分
 10.1 ラドンーニコディムの定理
 10.2 (*) Lpの双対空間
 10.3 絶対連続性の特徴づけ
 10.4 一般化された微積分の基本公式
 10.5 (*) 複素測度の微分

11 付録
 11.1 集合の濃度
 11.2 ユークリッド空間の位相
 11.3 連続関数・滑らかな関数の拡張
 11.4 距離空間上の測度の位相正則性
 11.5 双対空間とリースの表現定理