書籍詳細:セルバーグ・ゼータ関数

セルバーグ・ゼータ関数 リーマン予想への架け橋

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発刊年月
2018.07
ISBN
978-4-535-60353-0
判型
A5判
ページ数
200ページ
Cコード
C3341
ジャンル
難易度
テキスト:中級

内容紹介

本邦初の解説書。関連分野が膨大なため初学者にとっては取り組みにくい内容を天下り的な記述を極力排し、ていねいに解説。

目次

第1章 双曲幾何学からの準備
1.1 双曲平面
1.2 測地線
1.3 等質空間
1.4 リー群としてのSL(2,R)
1.5 行列の指数写像
1.6 リー環
1.7 リー環としてのベクトル場
1.8 不変ベクトル場とリー環
1.9 不変微分作用素と普遍包絡環
1.10 カシミール元
1.11 ラプラシアンの計算

第2章 セルバーグ理論
2.1 積分作用素
2.2 ラプラシアンと平均値作用素
2.3 双曲平面の極座標
2.4 特殊関数論からの準備
2.5 セルバーグの定理

第3章 跡公式という考え方
3.1 フーリエ展開とフーリエ変換
3.2 ポアソンの和公式
3.3 セルバーグ跡公式の骨格
3.4 積分作用素の跡
3.5 跡公式としてのポアソン和公式

第4章 離散部分群の構成
4.1 四元数環
4.2 離散群の構成
4.3 離散群の数論性
4.4 基本領域のコンパクト性
4.5 放物型共役類とカスプ
4.6 楕円型共役類と錐点
4.7 双曲型共役類と測地線

第5章 セルバーグ跡公式
5.1 関数解析学からの準備
5.2 スペクトル理論
5.3 コンパクト・リーマン面の跡公式

第6章 セルバーグ・ゼータ関数
6.1 セルバーグ・ゼータ関数の導出
6.2 リーマン予想が成り立つ仕組み
6.3 力学系のゼータ関数

第7章 モジュラー群
7.1 SL(2,Z)の構造
7.2 非コンパクト跡公式の概要
7.3 アイゼンシュタイン級数のフーリエ展開
7.4 SL(2,Z)の跡公式
7.5 SL(2,Z)のセルバーグ・ゼータ関数